Прямоугольник. Полные уроки — Гипермаркет знаний

Определение.

Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника , а короткую - шириной прямоугольника .

Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.

Основные свойства прямоугольника

Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.

1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:

3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Все четыре угла прямоугольника прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:

7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.

9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:

10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности

11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности

12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника - квадрат).

Стороны прямоугольника

Определение.

Формулы определения длин сторон прямоугольника

1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:

a = √d 2 - b 2

b = √d 2 - a 2

2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:

Диагональ прямоугольника

Определение.

Формулы определения длины диагонали прямоугольника

1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):

d = √a 2 + b 2

2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:

4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:

d = 2R

5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:

d = D о

6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:

8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника

d = √2S: sin β

Периметр прямоугольника

Определение.

Формулы определения длины периметру прямоугольника

1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b )

2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:

3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:

P = 2(a + √d 2 - a 2 ) = 2(b + √d 2 - b 2 )

4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √4R 2 - a 2 ) = 2(b + √4R 2 - b 2 )

5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √D o 2 - a 2 ) = 2(b + √D o 2 - b 2 )

Площадь прямоугольника

Определение.

Формулы определения площади прямоугольника

1. Формула площади прямоугольника через две стороны:

S = a · b

2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:

5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

S = a √4R 2 - a 2 = b √4R 2 - b 2

6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

S = a √D o 2 - a 2 = b √D o 2 - b 2

Окружность описанная вокруг прямоугольника

Определение.

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника

1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Доказательство

Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Противоположные стороны равны.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Противоположные стороны параллельны.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB

5. Диагонали прямоугольника равны.

AC = BD

Доказательство

Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит AB = CD .

Следовательно, \triangle ABD = \triangle DCA по двум катетам (AB = CD и AD — совместный).

Если обе фигуры — ABC и DCA тождественны, то и их гипотенузы BD и AC тоже тождественны.

Значит, AC = BD .

Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.

Докажем и это.

ABCD — параллелограмм \Rightarrow AB = CD , AC = BD по условию. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA уже по трем сторонам.

Получается, что \angle A = \angle D (как углы параллелограмма). И \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Выводим, что \angle A = \angle B = \angle C = \angle D . Все они по 90^{\circ} . В сумме — 360^{\circ} .

Доказано!

6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон.

Это свойство справедливо в силу теоремы Пифагора.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

AO = BO = CO = DO

9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности .

10. Сумма всех углов равна 360 градусов.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}

11. Все углы прямоугольника прямые.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}

12. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.

13. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.

Это свойство справедливо в силу того, что сумма противоположных углов прямоугольника равна 180^{\circ}

\angle ABC = \angle CDA = 180^{\circ},\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^{\circ}

14. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если он имеет одинаковые длины сторон (является квадратом).

География, биология, химия, алгебра, геометрия... Школьникам приходится иметь дело с множеством сведений из самых различных наук. Однако есть области знаний, в которых достаточно просто разобраться, ознакомившись с их основными законами. К ним относится и геометрия. Чтобы познать все тонкости этой науки, надо обязательно познакомиться с ее азами, аксиомами. Ведь без основ в геометрии никуда.

Определение прямоугольника

Прямоугольник - это геометрическая фигура с четырьмя прямыми углами. Определение довольно простое, но не стоит думать, что у школьника не возникнет проблем с изучением такой темы, ведь здесь есть ряд особенностей. Размеры прямоугольника зависят от длины его сторон, которые наиболее часто обозначаются латинскими буквами а и b.

Свойства прямоугольника

• стороны, лежащие друга против друга, равны и параллельны;
• диагонали фигуры равны;
• точка пересечения диагоналей делит их пополам;
• прямоугольник можно поделить на два равных

Признаки прямоугольника

Существует всего три признака, которыми обладает прямоугольник. Вот они:

• параллелограмм с равными диагоналями - это прямоугольник;
• параллелограмм с одним прямым углом - это прямоугольник;
• четырехугольник с тремя прямыми углами - это прямоугольник.

Еще немного интересного

Итак, что такое прямоугольник, теперь понятно, но какую роль он играет в геометрических задачах и при измерениях на практике, еще предстоит разобраться. Так, в первую очередь надо сказать, что это наиболее удобная геометрическая фигура, при помощи которой можно делить площадь на участки и на открытой местности, и в помещениях.

Что такое прямоугольник? Как известно, он является четырехугольником. Существует множество разновидностей последнего, среди которых можно назвать трапецию (только две стороны равны), параллелограмм (противоположные стороны параллельны), квадрат (все углы и стороны одинаковые), ромб (параллелограмм с равными сторонами) и другие. Частным же случаем прямоугольника является квадрат, у которого все углы прямые, а стороны равны.

Нельзя говорить о том, что такое прямоугольник, и не упомянуть о том, как же определить его размеры. Площадью этой принято считать произведение ее ширины на длину, а периметр же, как и у любой фигуры, равняется сумме длин всех сторон. В данном случае он также равен удвоенной сумме длины и ширины, поскольку противолежащие стороны прямоугольника равны. Теперь вы знаете, что такое прямоугольник и что с ним делать, решая задачи и постигая секреты такой загадочной и таинственной науки, как геометрия.

Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Диагонали прямоугольника равны. Вторая формула нахождения площади прямоугольника исходит из формулы площади четырехугольника через диагонали.

Прямоугольник - это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Квадрат - это частный случай прямоугольника.

Прямоугольник имеет две пары равных сторон. Длина наиболее длинных пар сторон называется длиной прямоугольника , а длина наиболее коротких - шириной прямоугольника .

Свойства прямоугольника

1. Прямоугольник - это параллелограмм

Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) )

2. Противоположные стороны равны

\(AB = CD,\enspace BC = AD \)

3. Противоположные стороны параллельны

\(AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD \)

4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу

\(AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB \)

5. Диагонали прямоугольника равны

\(AC = BD \)

Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит \(AB = CD \) .

Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle DCA \) по двум катетам (\(AB = CD \) и \(AD \) - совместный).

Если обе фигуры - \(ABC \) и \(DCA \) тождественны, то и их гипотенузы \(BD \) и \(AC \) тоже тождественны.

Значит, \(AC = BD \) .

Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.

Докажем и это.

\(\Rightarrow AB = CD \) , \(AC = BD \) по условию. \(\Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA \) уже по трем сторонам.

Получается, что \(\angle A = \angle D \) (как углы параллелограмма). И \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .

Выводим, что \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D \) . Все они по \(90^{\circ} \) . В сумме - \(360^{\circ} \) .

7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника

\(\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD \)

8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам

\(AO = BO = CO = DO \)

9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности

Прямоугольник … Орфографический словарь-справочник

Параллелограмм, четырехугольник, квадрат Словарь русских синонимов. прямоугольник сущ., кол во синонимов: 4 квадрат (9) … Словарь синонимов

Термин, используемый в техническом анализе конъюнктуры финансовых рынков для обозначения движения цен, укладывающегося на графике в прямоугольник. Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б.. Современный экономический словарь. 2 е изд., испр … Экономический словарь

Словарь бизнес-терминов

ПРЯМОУГОЛЬНИК, параллелограмм, все углы которого прямые … Современная энциклопедия

Четырехугольник, у которого все углы прямые … Большой Энциклопедический словарь

ПРЯМОУГОЛЬНИК, четырехсторонняя геометрическая фигура (четырехугольник), внутренние углы которой являются прямыми, а противоположные стороны попарно параллельны и равны. Это особый случай ПАРАЛЛЕЛОГРАММА … Научно-технический энциклопедический словарь

ПРЯМОУГОЛЬНИК, прямоугольника, муж. (геом.). Четырехугольник, в котором все углы прямые. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

ПРЯМОУГОЛЬНИК, а, муж. 1. Четырёхугольник, у к рого все углы прямые. 2. Название офицерского знака различия такой формы на петлицах в Красной Армии (с 1924 по 1943 г.). Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Вид графика движения цены в виде треугольника, используемый в техническом анализе конъюнктуры финансовых рынков. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов

Книги

• Прямоугольник (+ наклейки) , Валерия Вилюнова. Эта книга с наклейками предназначена для самых маленьких читателей. В 2 года ребенок с удовольствием выполняет увлекательные задания, приклеивая наклейки в нужноеместо. Это занятие не только…
• Геометрическая мозаика. Прямоугольник , Вилюнова В.. Книга «Прямоугольник» предназначена для самых маленьких читателей. С ее помощью ваш малыш познакомится с геометрическими фигурами – прямоугольником и трапецией, научится различать и называть…