В этой статье мы расскажем, как можно сформулировать и доказать первый признак равенства треугольников , который проходят в 7 классе.
Формулировка первого признака равенства треугольников
«Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.»
Сокращенно его называют равенство «по двум сторонам и углу между ними».
Прежде чем перейти к необходимо вспомнить, что называют треугольником и в каком случае можно утверждать, что два треугольника равны.
Что такое треугольник и когда они считаются равными?
Треугольник – это геометрическая фигура из трёх отрезков, соединяющих три точки (при условии, что они не лежат на одной прямой. Эти точки считаются вершинами треугольника. А соединяющие их отрезки – сторонами ).
На рисунке 1 представлен треугольник ABС. Который имеет три вершины (А, В и С). И стороны – АВ, АС и ВС.
Рисунок 1
Треугольники считаются равными, когда все их стороны и углы соответственно равны друг другу (в случае, когда равны лишь углы, а стороны пропорциональны, треугольники называются подобными ). Таким образом очевидно, что равные треугольники можно наложить друг на друга – и они полностью совпадут.
Доказательство первого признака равенства треугольников
Дано:
Два треугольника: ABC и DEF (рисунок 2).
Рисунок 2
По условию теоремы две пары отрезков этих треугольников равны между собой (АС = FD и СВ = EF). Углы между отрезками также равны (т.е. ∠АСВ = ∠EFD).
Доказать , что треугольник ABC равен треугольнику DEF.
Доказательство:
- Поскольку имеется равенство углов (∠АСВ = ∠EFD), треугольники можно наложить друг на друга, так чтобы вершина С совпадала с вершиной F.
- При этом отрезки СА и СВ наложатся на отрезки FE и FD.
- А поскольку отрезки двух треугольников равны между собой (АС = FD и СВ = EF по условию), то отрезок АВ также совпадёт со стороной ED.
- Это в свою очередь даст совмещение вершин А и D, В и Е.
- Следовательно, треугольники полностью совместятся, а значит, они равны.
Теорема доказана.
На этом уроке мы будем изучать первый признак равенства треугольников. Вначале сформулируем и докажем теорему о первом признаке равенства треугольников. Далее будем решать задачи на использование первого признака равенства треугольников.
На предыдущем занятии мы ввели понятие «равные треугольники» - треугольники, которые можно совместить наложением. Однако очень трудно сравнивать фигуры по определению, поэтому мы введем признаки равенства треугольников - по некоторым элементам.
Рис. 1. Треугольники АВС и A 1 B 1 C 1 равны
Докажем теорему: если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны.
Теорема: Дано . Доказать: АВС и .
Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате данного действия вершины А и А 1 , отрезки АВ и А 1 В 1, АС и А 1 С 1 совпадают. Если рассматривать треугольники в целом, то совпадёт с .
Теорема доказана.
Рассмотрим несколько задач.
Отрезки АС и ВD точкой их пересечения О делятся пополам. Докажите, что .
Доказательство: Выполним пояснительный рисунок.
Рис. 2. Чертеж к примеру 1
Отметим, что углы АОВ и СОD равны, как вертикальные, а стороны ВО и АО треугольника АОВ соответственно равны сторонам OD и ОС треугольника СОD. Поэтому треугольники АОВ и СОD равны по первому признаку.
Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что .
Рис. 3. Чертеж к примеру 2
В предыдущей задаче мы доказали, что по первому признаку. Из этих соображений мы можем сделать вывод, что AB = CD, ∠OAB = ∠OCD.
Теперь рассмотрим треугольники
. У них АС - общая сторона, AB=CD, а ∠СAB = ∠АCD (по доказанному). Поэтому по первому признаку равенства. Что и требовалось доказать.
Рис. 4. Чертеж к примеру 3
На рисунке 3 отрезки АВ и АС равны. Угол 1 равен углу 2. Известно, что АС = 15 см, DC = 5 см. Доказать, что . Найдите длины отрезков BD и АВ.
Треугольники равны по первому признаку, ведь ∠1 = ∠2, АВ = АС, а AD - общая сторона у обоих треугольников. Из равенства треугольников следует равенство некоторых их соответствующих элементов, поэтому: BD = CD = 5 см,
АВ = АС = 15 см.
Ответ: 5 см, 15 см.
На рисунке 5 ВС = AD. Угол 1 равен углу 2, AD = 17 см, CD = 14 см. Доказать, что . Найдите АВ и ВС.
Рис. 5. Чертеж к примеру 4
Треугольник АВС равен треугольнику СDА. 
по первому признаку. ∠1 = ∠2, СВ = АD, а AC - общая сторона у обоих треугольников. Из этого следует, что , .
- Тема урока "Первый признак равенства треугольников"
- Треугольник. Справочник
1. № 36. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.
2. Докажите, что треугольники ВОА и ЕОС равны. Отрезки ВЕ и AС точкой пересечения делятся пополам.
3. Докажите, что прямая, отсекающая от сторон угла равные отрезки, перпендикулярна его биссектрисе.
4. *На сторонах угла М отложены равные отрезки МА и МС и проведена его биссектриса, на которой отмечена точка В. Докажите, что ВМ является биссектрисой угла АВС.
Теорема 3.1 (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними).Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 А= А 1 , AB = A 1 B 1 , АС = А 1 С 1 (рис. 44). Докажем, чтотреугольники равны.
Пусть А 1 В 2 С 2 —треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной В 2 на луче A 1 B 1 и вершиной С 2 в той же полуплоскости относительно прямой A 1 B 1 , где лежит вершина C 1 (рис. 45, а).
Так как A 1 B 1 =A 1 B 2 , то вершина B 2 совпадает с вершиной В 1 , (рис. 45,6). Так как B 1 A 1 C 1 =B 2 A 1 C 2 , то луч А 1 С 2 совпадает с лучом A 1 C 1 (рис. 45, в). Так как A 1 C 1 =A 1 C 2 , то вершина С 2 совпадает с вершиной C 1 (рис. 45, г).
Итак, треугольник A 1 B 1 C 1 совпадает с треугольником А 1 В 2 С 2 , значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
Задача (1). Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС = 10 м?
Решение
. Треугольники АОС и BOD равны по первому признаку равенства треугольников
(рис. 46).
У них углы АОС и BOD равны как вертикальные, а OA=ОВ и OC=OD потому, что точка О является серединой отрезков АВ и CD. Из равенства треугольников АОС и BOD следует равенство их сторон АС и BD. А так как по условию задачи АС = 10 м, то и BD=10 м.
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 . Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.
Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.
Так, например, в равных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 , изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А 1 В 1 лежат равные углы С и С 1 . Равенство треугольников ABC и А 1 В 1 С 1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А 1 В 1 С 1 . Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.
Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = A 1 B 1 , АС = A 1 C 1 ∠ А = ∠ А 1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .
Так как ∠ А = ∠ А 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1 , а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 В 1 и A 1 C 1 . Поскольку АВ = A 1 B 1 , АС = А 1 С 1 , то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1 а сторона АС - со стороной А 1 C 1 ; в частности, совместятся точки В и В 1 , С и C 1 . Следовательно, совместятся стороны ВС и В 1 С 1 . Итак, треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит, они равны.
Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.
Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).
Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.
Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.
Из последней теоремы вытекает теорема 4.
Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны ().
Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)
∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?
Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.
Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?
Решение.
Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD (по условию).
Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м.
Треугольник. Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник.
Катеты и гипотенуза. Равнобедренный и равносторонний треугольник.
Сумма углов треугольника.
Внешний угол треугольника. Признаки равенства треугольников.
Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы,
биссектрисы,срединны e перпендикуляры, ортоцентр,
центр тяжести, центр описанного круга, центр вписанного круга.
Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольномтреугольнике.
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.
Если
все
три
угла острые
(рис.20
),
то
это
остроугольный треугольник
.
Если один из углов прямой
( C, рис.21),
то это прямоугольный треугольник
;
стороны
a
,
b
,
образующие прямой угол, называются катетами
; сторона
c
,
противоположная прямому углу, называется гипотенузой
. Если один из
углов
тупой
( B,
рис.22),
то это
тупоугольный треугольник.
Треугольник
ABC
(рис.23) -
равнобедренный
,
если две
его стороны равны (a
=
c
); эти равные стороны
называются боковыми
, третья сторона называется основанием
треугольника. Треугольник
ABC
(рис.24) –
равносторонний
,
если все
его стороны равны (a
=
b
=
c
). В
общем случае
(a
≠ b
≠ c
)
имеем
неравносторонний
треугольник.
Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
3. Сумма углов треугольника равна 180 º .
Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем
треугольнике равен 60 º.
4. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний
угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним : BCD = A + B.
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше
их разности (a < b + c , a > b – c ;b < a + c , b > a – c ;c < a + b ,c > a – b ).
Признаки равенства треугольников.
Треугольники равны, если у них соответственно равны:
a ) две стороны и угол между ними;
b ) два угла и прилегающая к ним сторона;
c ) три стороны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Д ва прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:
1) равны их катеты;
2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;
4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;
5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.
Замечательные линии и точки в треугольнике.
Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке , называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O , рис.26) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника (точка O , рис.27) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
Медиана – это отрезок , соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника (AD , BE , CF , рис.28) пересекаются в одной точке O , всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника (AD , BE , CF , рис.29) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам ; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .
Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС (KO , MO , NO , рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга (точки K , M , N – середины сторон треугольника ABC ).
В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами a , b и гипотенузой c .
Построим квадрат AKMB , используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF , сторона которого равна a + b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна (a + b ) 2 . С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB , то есть
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab ,
отсюда ,
c 2 + 2 ab = (a + b ) 2 ,
и окончательно имеем:
c 2 = a 2 + b 2 .
Соотношение сторон в произвольном треугольнике.
В общем случае (для произвольного треугольника) имеем:
c 2 = a 2 + b 2 – 2ab · cos C,
где C – угол между сторонами a и b .
